Question

Мистер Фикс задумал некоторое натуральное число N, большее 410, но меньшее 420, и сложил все натуральные числа от 1 до N. Он обнаружил, что полученная сумма делится на некоторое простое число p, однако ни одно слагаемое на p не делится. Чему равно N?

Answer 1

Сумма N натуральных чисел от 1 до N равна 
$frac{(N+1)N}{2}$
Эта сумма должна делиться на простое число p
т.е. или N делится на p, или N+1 делится на р
но N не делится на p по условию задачи, т.к. N это одно из слагаемых

значит N+1 делится на простое число p
по условию 410<N<420
411<N+1<421
в этом промежутке есть только одно простое число p=419
значит N+1=p=419
N=418

ответ: N=418