Question

Помогите решить уравнение
*Тригонометрия*

Answer 1

$( sqrt{3} cos2x + sin2x)^2 = 7 + 3cos(2x - dfrac{ pi }{6}) \ \ ( sqrt{3} cos2x + sin2x)^2 = 7 + 3cos2xcdot cos dfrac{ pi }{6} + 3sin2x cdot sin dfrac{ pi }{6} \ \ ( sqrt{3} cos2x + sin2x)^2 = 7 + 3cos2x cdot dfrac{ sqrt{3} }{2} + 3sin2x cdot dfrac{1}{2} \ \ ( sqrt{3} cos2x + sin2x)^2 = 7 + dfrac{3}{2} ( sqrt{3} cos2x + sin2x) \ \ 2( sqrt{3} cos2x + sin2x)^2 -3 ( sqrt{3} cos2x + sin2x) - 14 = 0$
Пусть $t = sqrt{3} cos2x + sin2x$.
$2t^2 - 3t - 14 = 0 \ D = 3^2 + 4 cdot 14 cdot 2 = 9 + 112 = 121 = 11^2 \ \ t_1 = dfrac{3 + 11}{4} = dfrac{7}{2} \ \ t_2 = dfrac{3 - 11}{4} = -2$
Обратная замена:
$sqrt{3} cos2x + sin2x = dfrac{7}{2} \ \ dfrac{ sqrt{3}}{2}cos2x + dfrac{1}{2}sin2x = dfrac{7}{4} \ \ cos dfrac{ pi }{6} cos2x + sin dfrac{ pi }{6} sin2x = dfrac{7}{4}$
$cos(2x - dfrac{ pi }{6}) = dfrac{7}{4}$ - нет корней, т.к. косинус аргумента принадлежит отрезку [-1; 1]
$sqrt{3} cos2x + sin2x =-2 \ \ dfrac{ sqrt{3}}{2}cos2x + dfrac{1}{2}sin2x = -1 \ \ cos dfrac{ pi }{6} cos2x + sin dfrac{ pi }{6} sin2x = -1 \ cos(2x - dfrac{ pi }{6}) = -1 \ \ 2x - dfrac{ pi }{6} = pi + 2 pi n, n in Z \ \ 2x = dfrac{7 pi }{6} + 2 pi n, n in Z \ \ boxed{x = dfrac{7 pi }{12} + pi n, n in Z }$