Question

Решите уравнение
5(1-tg^2x)+(12sinx-7)(1+tg^2x)=0
Найдите все его решения на отрезка [-2П;0]

Answer 1

$5(1-tg^2x)+(12sin x-7)(1+tg^2x)=0\ \ 5cdot (1-( frac{1}{cos^2x} -1))+(12sin x-7)cdot frac{1}{cos^2x} =0\ \ 5(2- frac{1}{cos^2x} )+(12sin x-7)cdot frac{1}{cos^2x} =0,, |cdot cos^2x\ \ 10cos^2x-5+12sin x-7=0\ \ 10(1-sin^2x)+12sin x-12=0\ \ 10-10sin^2x+12sin x-12=0\ \ -10sin^2x+12sin x-2=0,, |:(-2)\ \ 5sin^2x-6sin x+1=0$
Пусть $sin x=t$, причем $(|t| leq 1)$ тогда получаем:
$5t^2-6t+1=0\ D=b^2-4ac=(-6)^2-4cdot5cdot 1=36-20=16$
Поскольку $D textgreater 0$, то квадратное уравнение имеет 2 корня:
$t_1= dfrac{-b+ sqrt{D} }{2a} = dfrac{6+4}{2cdot5} =1\ \ t_2= dfrac{-b- sqrt{D} }{2a} = dfrac{6-4}{2cdot5} = dfrac{1}{5}$

Обратная замена:

$sin x=1\ \ x= dfrac{pi}{2}+2pi k,k in mathbb{Z}$
Корень не входит в ОДЗ

$sin x= dfrac{1}{5} \ \ x=(-1)^kcdot arcsinbigg( dfrac{1}{5} bigg)+ pi k,k in mathbb{Z}$

Отбор корней:

Для второго корня:
$k=-1;,,, x=(-1)^{-1}cdotarcsinbigg( dfrac{1}{5} bigg)- pi =-arcsinbigg( dfrac{1}{5} bigg)- pi \ \ k=-2;,,, x=(-1)^{-2}cdotarcsinbigg( dfrac{1}{5} bigg)-2 pi =arcsinbigg( dfrac{1}{5} bigg)-2 pi$

Answer 2

А разве первый корень не исключается ОДЗ? На икс и выражения его содержащие умножать и делить нельзя, насколько я помню.