Question

Из пункта А, расположенного на берегу реки необходимо попасть в пункт В, двигаясь по прямой АВ, ширина реки АС=b=1км, ВС=а=2км, скорость лодки относительно воды v=5км/ч, а скорость течения реки u=2км/ч. За какое время t может быть пройден отрезок АВ?

Answer 1

Тут возможны 2 варианта, поскольку никто не знает, где расположен пункт B - вниз по течению, или вверх по течению

1) вниз по течению. Пусть лодка имеет собственную скорость такую, что ее проекция вдоль течения v_x>0, а поперек него v_y>0. Пусть также скорость течения равна u. Тогда

$displaystyle b/v_y = tau = a/(v_x+u)\ v_x+u = frac{a}{b}v_yequivlambda v_y\ sqrt{v^2-v_y^2} = lambda v_y - u\ v^2 - v_y^2 = lambda^2v_y^2 - 2lambda uv_y + u^2\ (1+lambda^2)v_y^2-2lambda uv_y+u^2-v^2=0\\ D/4 = lambda^2u^2+(v^2-u^2)(1+lambda^2) = v^2(1+lambda^2)-u^2\\ v_y = left[lambda u +sqrt{v^2(1+lambda^2)-u^2}right]/(1+lambda^2) = 3text{ km/h}\ tau = b/v_y = 20text{ min}$

Заметим, что при этом x-проекция скорости лодки равна 4км/ч (египетский треугольник), а вместе с течением будет 6 км/ч. Поэтому вдоль берега лодка пройдет как раз вдвое больше, чем поперек.

2) вверх по течению. Направляя ось x на этот раз против течения, имеем

$displaystyle b/v_y = tau = a/(v_x-u)\ v_x-u = frac{a}{b}v_yequivlambda v_y\ sqrt{v^2-v_y^2} = lambda v_y + u\ v^2 - v_y^2 = lambda^2v_y^2 + 2lambda uv_y + u^2\ (1+lambda^2)v_y^2+2lambda uv_y+u^2-v^2=0\\ D/4 = lambda^2u^2+(v^2-u^2)(1+lambda^2) = v^2(1+lambda^2)-u^2\\ v_y = left[-lambda u +sqrt{v^2(1+lambda^2)-u^2}right]/(1+lambda^2) = 1.4text{ km/h}\ tau = b/v_y = 5/7text{ h}approx 43text{ min}$

Заметим, что при этом x-проекция скорости лодки равна 4.8км/ч (египетский треугольник), а вместе с течением будет 2.8 км/ч. Поэтому вдоль берега лодка пройдет опять раз вдвое больше, чем поперек.

Ответы: либо 20 минут, если сплав вниз, либо около 43, если идем вверх.