Question

Тригонометрические уравнения

Answer 1

1)

$cosfrac{pi(x-49)}{21}=0,5\\ frac{pi(x-49)}{21}=frac{pi}{3}+2pi k k in Z frac{pi(x-49)}{21}=frac{2pi}{3}+2pi k k in Z\ pi(x-49)=7pi+42pi k k in Z pi(x-49)=14pi+42pi k k in Z \ x-49=7+42k k in Z x-49=14+42k k in Z \ x= 56+42k k in Z x=63 +42k k in Z$

 

Соответсвенно наименьший положительный корень 56

Ответ:{56}

 

2)4sin^2(a)=4(1-cos^2(a)) - известный факт

$1+4sin^2frac{pi(x-3)}{24}+8cosfrac{pi(x-3)}{24}=0\ 5-4cos^2frac{pi(x-3)}{24}+8cosfrac{pi(x-3)}{24}=0\ 4cos^2frac{pi(x-3)}{24}-8cosfrac{pi(x-3)}{24}-5=0\ \ D=8^2+4*4*5=64+80=144=12^2$

$cosfrac{pi(x-3)}{24}=frac{8+12}{2*4}=2,5\ cosfrac{pi(x-3)}{24}=frac{8-12}{2*4}=-0,5$

$cosfrac{pi(x-3)}{24}=-0,5\ frac{pi(x-3)}{24}=-frac{pi}{3}+2pi k k in Z frac{pi(x-3)}{24}=-frac{2pi}{3}+2pi k k in Z \ pi(x-3)=-8pi+48pi k k in Z pi(x-3)=-16pi+48pi k k in Z \ x-3=-8+48k k in Z x-3=-16+48k k in Z \ x=-5+48k k in Z x=-13+48k k in Z$

 

Наибольший отрицательный корень -5

Ответ:{-5}

 

3)cos(2a)=cos^2(2a)-sin^2(2a) - известный факт; ' - градус

$cos0,5x+cos0,25x=0\ cos^20,25x+cos0,25x-sin^20,25x=0\ 2cos^20,25x+cos0,25x-1=0\ D=1^2+2*4*1=9=3^2$

$cos0,25x=frac{-1+3}{2*2}=0,5\ cos0,25x=frac{-1-3}{2*2}=-1\ \ 0,25x=60'+360'k k in Z\ 0,25x=180'+360'k k in Z\ \ x=240'+1440'k k in Z\ x=720'+1440'k k in Z$

 

Наименьший положительный угол 240'

Ответ:{240'}

 

4)

$2sin^2X-(2+sqrt{2})sinXcosX+sqrt{2}cos^2X=0\ 2sinX(sinX-cosX)-sqrt{2}cosX(sinX-cosX)=0\ (2sinX-sqrt{2}cosX)(sinX-cosX)=0\ \ cosX=sinX\ 2sinX=sqrt{2}cosX\ \ X=45'+180'k k in Z$

 

Наибольший отрицательный корень -135'

Ответ:{-135'}