Question

1) Сума трьох чисел, що утворюють геометричну прогресію, дорівнює 35. Якщо до першого і другого додати по 1, а від третього відняти 4, то отримані числа утворюють арифметичну прогресію. Знайти ці числа.
2) Сума трьох чисел, що утворюють геометричну прогресію, дорівнює 21. Якщо до першого і другого додати по 4, а до третього - 1, то отримані числа утворять арифметичну прогресію. Знайти ці числа.
__________________________________________________________________
Решите кому не лень. По балам не жадничаю.

Answer 1

Пусть последовательность $a,b,c$ - геометрическая прогрессия.
$a+b+c=35$ - по условию.
По свойству арифметической и геометрической прогрессии:
$a_2= frac{a_1+a_3}{2} ;,,,,,,,,,,,b_2^2=b_1cdot b_3$ соответственно.

$a+1,b+1,c-4$ - арифметическая прогрессия.

Составим систему

$begin{cases} & text{ } a+b+c=35 \ & text{ } a+1+c-4=2(b+1) \ & text{ } b^2=ac end{cases}$

Решив эту систему уравнений, получаем такое решение:

$begin{cases} & text{ } a=20 \ & text{ } b=10 \ & text{ } c=5 end{cases}$        и                 $begin{cases} & text{ } a=5 \ & text{ } b=10 \ & text{ } c=20 end{cases}$


Аналогично делаем и со вторым заданием.

$a+4,b+4,c+1$ - арифметическая прогрессия
$a+b+c=21$ - по условию

Составим систему

$begin{cases} & text{ } a+b+c=21 \ & text{ } a+4+c+1=2(b+4) \ & text{ } b^2=ac end{cases}$

Решив эту систему, получаем такие решения:

$begin{cases} & text{ } a=12 \ & text{ } b=6 \ & text{ } c=3 end{cases}$            и                  $begin{cases} & text{ } a=3 \ & text{ } b=6 \ & text{ } c=12 end{cases}$