Question

докажите,что для арифметических корней верно равенство$sqrt[n]{ frac{a}{b} } = frac{ sqrt[n]{a} }{ sqrt[n]{b} } , a geq 0, b textgreater 0$

Answer 1

Первый способ

При $a geq 0,,, b textgreater 0$ выполняется условие $dfrac{ sqrt[n]{a} }{ sqrt[n]{b} } geq 0$. Возведя в $n$ - ой степени, имеем: 

$bigg( dfrac{ sqrt[n]{a} }{ sqrt[n]{b} } bigg)^big{n}= dfrac{a}{b}$

Второй способ.

Сделаем замену.
Пусть $sqrt[n]{ dfrac{a}{b} } =x;,,,, sqrt[n]{a} =y;,,,, sqrt[n]{b} =z$

Имеем

$ab=x^n;,,,,,,, a=y^n;,,,,, b=z^n$

$x^n= dfrac{y^n}{z^n} = bigg(dfrac{y}{z} bigg)^big{n}$ отсюда следует $x= dfrac{y}{z}$