Question

Найдите наименьшее значение функции y = e^2x - 2e^x + 8 на отрезке [-2; 1]

Помогите, пожалуйста!!! Как вообще работать с экспонентой??

Answer 1

Для поиска экстремумов функции $y_{(x)}=e^{2x}-2e^x+8$ надо найти её первую производную по аргументу х, приравнять её нулю и решить относительно х полученное уравнение.
$y'=2e^{2x}-2e^x; y'=0; 2e^{2x}=2e^x; e^{2x}=e^x$
Берем натуральный логарифм от обоих частей уравнения:
$2x=x to x=0$
Итак, функция имеет один экстремум в точке х=0.
Определим знак первой производной справа и слева от этой точки, подставляя в выражение для производной значения х=-1 и х=1 (можно взять и другие значения, но поскольку экстремум один, конкретные значения не играют роли и лучше брать точки, где проще оценить значение выражения).
$y'_{(-1)}=2e^{-2}-2e^{-1}=2*( frac{1}{e^2}- frac{1}{e})=2* frac{1-e}{e^2}<0; \ y'_{(1)}=2e^2-2e=2e(e-1)>0 \ ---(-)- 0 -(+) ---$
Мы видим, что слева от точки х=0 производная отрицательна, справа - положительна, следовательно в точке х=0 функция имеет минимум.
Вычислим его.
$y_{(x=0)}=e^0-2*e^0+8=1-2+8=7$
Функция на отрезке [-2;1] в точке х=0 имеет минимум, равный 7.

Примечание. Можно формально придраться к решению, указав что нигде не было использовано левое значение интервала (х=-2), на котором отыскивается минимум. Но, как было замечено выше, функция не имеет точек экстремума при х<0, поэтому было достаточно использовать значение х=-1. Тем не менее, можем подставить в выражение производной значение х=-2 и убедиться, что и в этой точке производная отрицательна:
$y'_{(-2)}=2e^{-2*2}-2e^{-2}=2*( frac{1}{e^4}- frac{1}{e^2})=2* frac{1-e^2}{e^4}<0$