Question

Помогите, пожалуйста, найти вертикальные и горизонтальные асимптоты
функции: y = 2x/(x² - 1)

Answer 1

$y= frac{2x}{x^2-1}$
1. Функция не определена в точках 1 и -1. Прямые х=1 и х=-1 - вертикальные асимптоты, так как следующие односторонние пределы бесконечны:
$lim_{x to 1+0} frac{2x}{x^2-1}= frac{2cdot(1+0)}{(1+0)^2-1}= frac{2}{+0}=+infty \ lim_{x to- 1+0} frac{2x}{x^2-1}= frac{2cdot(-1+0)}{(-1+0)^2-1}= frac{-2}{-0}=+infty$
2. Горизонтальные асимптоты вида y=kx+b:
$k= lim_{x to +infty} frac{f(x)}{x} \ b= lim_{x to +infty} (f(x)-kx)$
При $xto+infty$:
$k= lim_{x to +infty} dfrac{ frac{2x}{x^2-1}}{x}= lim_{x to +infty} frac{2}{x^2-1}=lim_{x to +infty} frac{ frac{2}{x^2} }{1-frac{1}{x^2}}=frac{0}{1-0}=0 \ b= lim_{x to +infty} ( frac{2x}{x^2-1}-0)=lim_{x to +infty} frac{2x}{x^2-1}= lim_{x to +infty} frac{ frac{2}{x} }{1-frac{1}{x^2}}=frac{ 0 }{1-0}=0$
При $xto-infty$:
$k= lim_{x to -infty} dfrac{ frac{2x}{x^2-1}}{x}= lim_{x to -infty} frac{2}{x^2-1}=0 \ b= lim_{x to -infty} ( frac{2x}{x^2-1}-0)=lim_{x to -infty} frac{2x}{x^2-1}=0$
Прямая у=0 - асимптота при $xtopminfty$