Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возожные суммы (по 2, по 3 и т.д) выписывают на доскув порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10
Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
Более полный вариант задачи во вложении
Ответы
а) Если чисел выписано 7, то их было задумано 3. Их не могло быть меньше (у двух чисел сумм выписывается всего 3), и не могло быть больше (у четырёх чисел сумм будет 15). Нуля в наборе нет, а есть положительные и отрицательные числа. Какое-то встречается один раз, а какое-то два. Если отрицательное число одно, то положительных два, но тогда из них формируются три положительные суммы. Значит, было два отрицательных числа и одно положительное число, равное 7. Из отрицательных чисел может быть сформировано -5, чтобы в сумме с 7 получалось 2. Сумма же отрицательных чисел равна -13. Значит, это числа -8 и -5. А весь набор задуманных чисел был такой: -8, -5, 7. Легко видеть, что этот вариант подходит.
б) Пример с пятью числами: -2,-1,0,1,2. Легко проверяется, что выписано будет 31 число, где ±3появляется 2 раза, ±2 -- 4 раза, ±1 -- 6 раз, и 0 появится ровно 7 раз. Четырёх различных чисел недостаточно. Это легко проверяется, так как 0 сам по себе встречается не более одного раза, среди пар он встречается не более двух раз (пары с одинаковой суммой не пересекаются), среди троек не более одного раза (все их суммы различны), и как сумма всех чисел тоже не более одного раза -- итого получается меньше семи.
в) Нет, не всегда. Пусть задуманы числа 1, 2, -3. Из них формируется набор чисел от -3 до 3 (без повторений). Ясно, что если у всех задуманных чисел сменить знак, то получится то же самое, поэтому задуманы могли быть и числа -1, -2, 3.