Задача 2. Яхта терпит бедствие В океане расположено три острова A, B и C, причем расстояния от A до BB и от B до C — по 45 км, а от A до C — 65 км. Одновременно из A в C отправилась яхта, а из C в B — катер, оба со скоростью 10 км/ч. Через два часа яхта села на мель и стала подавать сигнал бедствия. Катер тут же изменил курс, увеличил скорость вдвое и последовал к яхте. С острова B к яхте отправилась спасательная лодка со скоростью 20 км/ч. На сколько минут раньше катер прибудет к яхте, чем лодка?
Ответы
Чертёж ниже, кликни по нему мышкой.
Яхта села на мель в точке М, поэтому будем искать расстояние ВМ, которое пройдёт спасательная лодка к яхте и расстояние КМ, которое пройдёт катер к яхте.
1). Будем находить длины сторон треугольников по теореме косинусов. Но сначала из ∆АВС найдём cos<C
АВ² = ВС² + АС² - 2*ВС*АС*cos<C
отсюда
cos<C = (ВС² + АС² - АВ²)/(2*ВС*АС)
cos<C = (45² + 65² - 45²)/(2*45*65)=
= 4225/5850 = 169/234 = 13/18
cos<C = 13/18
2) АМ = СК = 10 * 2 = 20 км
МС = АС - АМ = 65 - 20 = 45 км
3) Из ∆МКС найдём длину стороны КМ по т. косинусов
КМ² = МС² + СК² - 2*МС*СК*cos<C
КМ² = 45² + 20² - 2 * 45 * 20 * 13/18 = 2025 + 400 - 1300 = 1125
КМ = √1125 = 15√5 км
4) Из ∆МВС найдём длину стороны ВМ:
ВМ² = МС² + СВ² - 2*МС*СВ*cos<C
ВМ² = 45² + 45² - 2 * 45 * 45 * 13/18 = 4050 - 2925 = 1125
ВМ = √1125 = 15√5 км
5) Расстояния ВМ, которое пройдёт спасательная лодка для оказания помощи и расстояние КМ, которое пройдёт катер для оказания помощи яхте равны между собой: ВМ = КМ = 15√5 км.
Скорости тоже равны по 20км/ч
Значит, и время будет одинаковое,
15√5 км : 20 км/ч = 0, 75√5 ч ≈ 1,67 ч, получается, что лодка и катер к яхте прибудут одновременно.
Ответ: лодка и катер к яхте прибудут одновременно.
