Question

Доказать методом математической индукции, что для любого натурального n выполняется равенство:

1+2+3+...+n=(n(n+1))/2

Answer 1

Докажем для начало  просто зафиксируем что база наша верно то есть подставим 

1+2=2*3/2

  верно

теперь  докажем   что она верна для n+1 то есть  индуктивный переход  подставим 

1+2+n..+n+1=(n+1)(n+2)/2

она должна равняться   выражения стоящему  справа

докажем ,  так как сумма до этого вычислялась рекурентно n(n+1)/2 +n+1 так как перешли    ->  

(n(n+1))/ 2+n+1=n^2+n+2n+2/2=n^2+3n+2/2=(n+1)(n+2)/2  что т требовалось  доказать!!!

 

Answer 2

Рассмотрим для n=2: $frac{ncdot(n+1)}{2}=frac{2cdot(2+1)}{2}=frac{6}{2}=3=1+2$

Т.е. мы проверили, что есть n для которого это верно.

Теперь посчитаем ту же формулу для n+1. Получается:

$frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}=frac{(n+1)(n+2)}{2}=frac{n(n+1)}{2}+frac{2(n+1)}{2}=frac{n(n+1)}{2}+(n+1)$

$frac{(n+1)cdot((n+1)+1)}{2}=(1+...+n) + (n+1)$

Если теперь подставить в формулу m=n+1, то получаем:

$frac{mcdot(m+1)}{2}=1+...+m$

Ч.т.д.