Question

Сколько решений уравнения
10sinx+3cos(x+pi/6)=корень из 79 принадлежит промежутку [5pi; 2017pi) ?

Answer 1

Упростим левую часть уравнения:
$10sin x + 3cos(x + fracpi6) = 10sin x + 3cos xcos fracpi6 - 3sin xsinfracpi6 =\=10sin x+frac{3sqrt3}2cos x-frac32sin x=frac{17}2sin x+frac{3sqrt3}2cos x$
$sqrt{(frac{17}2)^2+(frac{3sqrt3}2)^2}=frac{sqrt{289+27}}2=sqrt{79}$

Пусть угол $varphi$ - такой, что $sin varphi=frac{3sqrt3}{2sqrt{79}}$, $cosvarphi=frac{17}{2sqrt{79}}$, тогда
$frac{17}2sin x+frac{3sqrt3}2cos x=sqrt{79}(sin xcosvarphi+cos xsinvarphi)=sqrt{79}sin(x+varphi)$

Окончательно уравнение превращается в такое:
$sqrt{79}sin(x+varphi)=sqrt{79}\ sin(x+varphi)=1$

У этого уравнения на любом полуоткрытом промежутке длины $2pi$ есть ровно 1 корень.

Так как $2017pi-5pi=2012pi=1006cdot2pi$, то у уравнения 1006 корней на заданном промежутке.