Question

Установить взаимное расположение прямых в пространстве

Answer 1

$left { {{x+y+z-1=0} atop {2x+3y+6z-6=0}} right.;$

$left { {{y+4z=0} atop {3x+4y+7z=0}} right.$

Вторая система однородна (свободные члены равны нулю), поэтому начало координат (то есть точка (0;0;0) лежит на второй прямой, но не лежит на первой. Значит, эти прямые не совпадают. Докажем, что они параллельны. Для этого найдем их направляющие векторы. Это можно сделать разными способами, например, найти векторные произведения векторов, перпендикулярных плоскостям, задающим прямые. Мы поступим проще. На первой прямой легко находится точка A(0;0;1), можно найти и вторую, например, B(-3;4;0) (я подставил z=0 и решил получившуюся систему). Кто знает метод Гаусса, может решать с его помощью, а мне лень. Вектор AB{-3;4;-1} параллелен первой прямой. На второй прямой уже найдена точка O(0;0;0), остается найти вторую точку. Подставим во вторую систему z=1, из первого уравнения y=-4, а тогда из второго находим x: 3x-16+7=0; x=3; получили точку C(3;-4;1); вектор OC{3;-4;1} параллелен второй прямой. Поскольку векторы AB и OC параллельны, и прямые тоже параллельны (то, что они не совпадают, мы доказали ранее)