Question

В треугольнике абс биссектриса ве и медиана ад перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 24. найдите стороны треугольника авс

Answer 1

АД=ВЕ=24. ВЕ - биссектриса, АД - медиана.

В треугольнике АВД ВР - биссектриса и медиана, значит он равнобедренный. АВ=ВД, АР=РД=АД/2=12.

Пусть АВ=х, АЕ=у.
ВС=2ВД=2х,
По теореме биссектрис АВ/ВС=АЕ/ЕС,
х/2х=у/ЕС ⇒ ЕС=2у, 
АС=АЕ+СЕ=у+2у=3у.
В тр-ке АВС по формуле биссектрисы ВЕ²=АВ·ВС-АЕ·ЕС=х·2х-у·2у=2(х²-у²),
х²-у²=24²/2,
х²=288+у².

В тр-ке АВР ВР=√(АВ²-АР²)=√(х²-144).
В тр-ке АРЕ РЕ=√(АЕ²-АР²)=√(у²-144).
ВР=ВЕ-РЕ,
√(х²-144)=24-√(у²-144), возведем всё в квадрат:
х²-144=576-48√(у²-144)+у²-144,
288+у²-144=576-48√(у²-144)+у²-144,
48√(у²-144)=288,
√(у²-144)=6, опять возведём в квадрат:
у²-144=36,
у²=180,
у=6√5.
х²=288+у²=288+180=468,
х=6√13.

АВ=х=6√13,
ВС=2х=12√13,
АС=3у=18√5 - это ответ.