Question

 Одно ребро треугольной пирамиды равно 4 см, каждое из остальных 3 см. Найдите объем пирамиды. Заранее спасибо)))

Answer 1

На скорую руку - надеюсь, что будет правильно.

Основание - равнобедренный треугольник ABC. AB=BC=3см, AC=4см.

Вершина пирамиды D равноудалена на 3см от A, B и C.

Опускаем перпендикуляр DE на AC. Он же медиана.

$|DE|=sqrt{|DC|^2-|EC|^2}=sqrt{9-4}=sqrt{5}$.

|BE|=|DE|, так как треугольники DEC и BEC равны.

Опустим перпендикуляр DF на BE. |DF|=h.

$P_{D,E,B}=sqrt{5}+sqrt{5}+3=2cdotsqrt{5}+3$

$p_{D,E,B}=frac{1}{2}cdot P_{D,E,B}=sqrt{5}+frac{3}{2}$

$h_{a}=frac{2cdotsqrt{pcdot(p-a)cdot(p-b)cdot(p-c)}}{a}$

$h_{DF}=frac{2cdotsqrt{{(sqrt{5}+frac{3}{2}})cdotfrac{3}{2}cdotfrac{3}{2}cdot(sqrt{5}-frac{3}{2})}}{sqrt{5}}=frac{3}{sqrt{5}}cdotsqrt{5-frac{9}{4}}=frac{3cdotsqrt{11}}{2cdotsqrt{5}}$

$V_{ABCD}=frac{1}{3}cdot S_{ABC}cdot h_{DF}=frac{1}{3}cdotfrac{3sqrt{11}}{2sqrt{5}}cdotfrac{1}{2}cdot 4cdot sqrt{5}=sqrt{11}$