Question

Найдите полную поверхность правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна 2 см, а все двугранные углы при основании равны 30 градусов

Answer 1

$SABC-$ правильная треугольная пирамида
$SO-$ высота
$AB=2$ см
$textless SMO= textless SKO= textless SFO=30к$
$S_{nol}-$ ?

$SABC-$ правильная треугольная пирамида
$SO$ ⊥ $(ABC)$
Δ $ABC-$ равносторонний
$S_{ABC}= frac{a^2 sqrt{3} }{4}$
$S_{ABC}= frac{AB^2 *sqrt{3} }{4} = frac{2^2* sqrt{3} }{4} = sqrt{3}$ см²
$S_{nol}=S_{bok}+S_{ocn}$
$S_{ocn}=S_{ABC}= sqrt{3}$ см²
$S_{bok}= frac{1}{2} P_{ABC}*l$  где $l-$  длина апофемы
$P_{ABC}=3*AB=3*2=6$ см
Δ $ABC-$ равносторонний
$AK$ ⊥ $BC$
$CK=KB=1$ см
Δ $AKC-$ прямоугольный
По теореме Пифагора найдем AK:
$AK^2=AC^2-CK^2$
$AK^2=2^2-1^2$
$AK^2=3$
$AK= sqrt{3}$ см
$AO:OK=2:1$ ( по свойству медиан)
$OK= frac{1}{3} AK= frac{ sqrt{3} }{3}$ см
$SO$ ⊥ $(ABC)$
Δ $SKO-$ прямоугольный
$frac{OK}{SK}=cos textless SKO$
$SK= frac{OK}{cos textless SKO }$
$SK= frac{ frac{ sqrt{3} }{3} }{cos textless 30к }$
$SK={ frac{ sqrt{3} }{3} }: frac{ sqrt{3} }{2}$
$SK= frac{2}{3}$ см
$S_{bok}= frac{1}{2} *6* frac{2}{3} =2$ см²

$S_{nol}=S_{bok}+S_{ocn}=2+ sqrt{3}$ см ²

Ответ: 2+√3 см²