Question

Решить уравнение

$sqrt[3]{5x-7}+ sqrt[3]{x-3}= sqrt[3]{3x-1}$

Answer 1

$sqrt[3]{5x-7}+ sqrt[3]{x-3}= sqrt[3]{3x-1}$

Возведём обе части уравнения в куб.

$( sqrt[3]{5x-7}+ sqrt[3]{x-3})^3=( sqrt[3]{3x-1} )^3$

$( sqrt[3]{5x-7})^3+(sqrt[3]{x-3})^3+3sqrt[3]{(5x-7)(x-3)}*( sqrt[3]{5x-7}+ sqrt[3]{x-3}) =$$=(sqrt[3]{3x-1})^3$

$5x-7+x-3+3sqrt[3]{(5x-7)(x-3)}*sqrt[3]{3x-1}={3x-1}$

$3sqrt[3]{(5x-7)(x-3){(3x-1})}={3x-1-6x+10}$

$3sqrt[3]{(5x-7)(x-3){(3x-1})}=9-3x$

$sqrt[3]{(5x-7)(x-3){(3x-1})}=3-x$

$(sqrt[3]{(5x-7)(x-3){(3x-1})})^3=(3-x)^3$

${(5x-7)(x-3){(3x-1})}=-(x-3)^3$

${(5x-7)(x-3){(3x-1})}+(x-3)^3=0$

$(x-3)[(5x-7)(3x-1)+(x-3)^2]=0$

$(x-3)(15x^2-5x-21x+7+x^2-6x+9)=0$

$(x-3)(16x^2-32x+16)=0$

$16(x-3)(x^2-2x+1)=0$

$16(x-3)(x-1)^2=0$

$(x-3)(x-1)^2=0$

$x-3=0$       или       $(x-1)^2=0$

$x=3$              или       $x-1=0$

                         или        $x=1$

Проверка корней:

$sqrt[3]{5*3-7}+ sqrt[3]{3-3}= sqrt[3]{3*3-1}$

$sqrt[3]{8}+ 0= sqrt[3]{8}$  - верно

$sqrt[3]{5*1-7}+ sqrt[3]{1-3}= sqrt[3]{3*1-1}$

$sqrt[3]{-2}+ sqrt[3]{-2}= sqrt[3]{2}$ - неверно

Ответ:  $3$

P.S.
$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$