Question

y"-y=x найти общее решение диф.ур-ия,допускающего понижение порядка

Answer 1

Пусть $y'=z$, тогда $y''=z'$. Подставляя в исходное уравнение, получим
$z'-z=x$
То есть, получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение.
Применим метод Бернулли
Пусть $z=uv$, тогда $z'=u'v+uv'$. Подставим
$uv'+u'v-uv=x\ u(-v+v')+u'v=x$
Данный метод состоит из двух этапов:
1) Предполагаем, что $u(v'-v)=0$
$v'-v=0\ v'=v$
Это есть уравнение с разделяющимися переменными. Переходя к дифференциалам.
$dfrac{dv}{dx} =v$
  $dfrac{dv}{v} =dx$ - уравнение с разделёнными переменными.
Проинтегрируем обе части уравнения
$displaystyle intlimits { frac{dv}{v} } = intlimits {} , dx \ ln|v|=x\ v=e^{x}$
2) Поскольку, как мы предположили, что v' + v = 0, то получим уравнение
$u'v=x$
Зная v, находим функцию u.
$u'e^x=x\ u'=xe^{-x}$
Интегрируя по частям, получаем
$u=-xe^{-x}-e^{-x}+C$
Найдем решение дифференциального уравнения, выполнив обратную замену.
$z=uv=Ce^x-x-1$
Снова обратная замена
$y'=Ce^{x}-x-1$
Интегрируя последнее уравнение, получаем
$y=C_1e^x- frac{x^2}{2} -x+C_2$ - общее решение.


Ответ: $y=C_1e^x- frac{x^2}{2} -x+C_2$