Ответы
Ответ дал:
0
Классификация: дифференциальное уравнение второго порядка, линейное и неоднородное.
Нам найти нужно:
Yo.н. = Yо.о. + Yч.н.
Где Yо.н. - неоднородное ур., Yо.о. - общее однородное, Yч.н. - частное неоднородное.
1) Yо.о: Найдем решение однородного уравнения
![y''-8y'+7y=0 y''-8y'+7y=0](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%27-8y%27%2B7y%3D0)
Воспользуемся методом Эйлера и перейдем к характеристическому уравнению:
⇒ ![k^2-8k+7=0 k^2-8k+7=0](https://tex.z-dn.net/?f=k%5E2-8k%2B7%3D0)
По т. Виета:![k_1=1;,,,,, k_2=7 k_1=1;,,,,, k_2=7](https://tex.z-dn.net/?f=k_1%3D1%3B%2C%2C%2C%2C%2C+k_2%3D7)
Имеем 2 действительных различных формы, которые соответствуют частные решения вида![y_1=e^{x};,,, y_2=e^{7x} y_1=e^{x};,,, y_2=e^{7x}](https://tex.z-dn.net/?f=y_1%3De%5E%7Bx%7D%3B%2C%2C%2C+y_2%3De%5E%7B7x%7D)
Тогда![boxed{y_{o.o.}=C_1y_1+C_2y_2=C_1e^x+C_2e^{7x}} boxed{y_{o.o.}=C_1y_1+C_2y_2=C_1e^x+C_2e^{7x}}](https://tex.z-dn.net/?f=boxed%7By_%7Bo.o.%7D%3DC_1y_1%2BC_2y_2%3DC_1e%5Ex%2BC_2e%5E%7B7x%7D%7D)
2) Определим Уч.н.(
принимаем за функции).
,
, где
- многочлен степени n.
Тем самым убеждаемся что правая часть относится к первому специальному виду:
Сравнивая
с корнями характеристического уравнения, и принимая во внимания, что n=0 частное решение будем искать в виде:
Уч.н.![=e^{5x}cdot A =e^{5x}cdot A](https://tex.z-dn.net/?f=%3De%5E%7B5x%7Dcdot+A)
Чтобы определить коэффициент А, подставим Уч.н. в исходное уравнение, вычислив предварительно производные:
![y'=5Ae^{5x}\ \ y''=25Ae^{5x} y'=5Ae^{5x}\ \ y''=25Ae^{5x}](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3D5Ae%5E%7B5x%7D%5C+%5C+y%27%27%3D25Ae%5E%7B5x%7D)
Подставим полученное выражение в исходное уравнение, сокращая на![e^{5x} e^{5x}](https://tex.z-dn.net/?f=e%5E%7B5x%7D)
![25A-8cdot 5A+7cdot A=2\ 25A-40A+7A=2\ -8A=2\ A=- frac{1}{4} 25A-8cdot 5A+7cdot A=2\ 25A-40A+7A=2\ -8A=2\ A=- frac{1}{4}](https://tex.z-dn.net/?f=25A-8cdot+5A%2B7cdot+A%3D2%5C+25A-40A%2B7A%3D2%5C+-8A%3D2%5C+A%3D-+frac%7B1%7D%7B4%7D+)
Найденный коэффициент подставим в Уч.н.
Уч.н.![=- dfrac{e^{5x}}{4} =- dfrac{e^{5x}}{4}](https://tex.z-dn.net/?f=%3D-+dfrac%7Be%5E%7B5x%7D%7D%7B4%7D+)
Тогда общее неоднородное диф. уравнение имеет вид:
![boxed{Y_{O.H.}=C_1e^x+C_e^{7x}-dfrac{e^{5x}}{4} } boxed{Y_{O.H.}=C_1e^x+C_e^{7x}-dfrac{e^{5x}}{4} }](https://tex.z-dn.net/?f=boxed%7BY_%7BO.H.%7D%3DC_1e%5Ex%2BC_e%5E%7B7x%7D-dfrac%7Be%5E%7B5x%7D%7D%7B4%7D+%7D)
Ответ:![C_1e^x+C_e^{7x}-dfrac{e^{5x}}{4} C_1e^x+C_e^{7x}-dfrac{e^{5x}}{4}](https://tex.z-dn.net/?f=C_1e%5Ex%2BC_e%5E%7B7x%7D-dfrac%7Be%5E%7B5x%7D%7D%7B4%7D)
Нам найти нужно:
Yo.н. = Yо.о. + Yч.н.
Где Yо.н. - неоднородное ур., Yо.о. - общее однородное, Yч.н. - частное неоднородное.
1) Yо.о: Найдем решение однородного уравнения
Воспользуемся методом Эйлера и перейдем к характеристическому уравнению:
По т. Виета:
Имеем 2 действительных различных формы, которые соответствуют частные решения вида
Тогда
2) Определим Уч.н.(
Тем самым убеждаемся что правая часть относится к первому специальному виду:
Сравнивая
Уч.н.
Чтобы определить коэффициент А, подставим Уч.н. в исходное уравнение, вычислив предварительно производные:
Подставим полученное выражение в исходное уравнение, сокращая на
Найденный коэффициент подставим в Уч.н.
Уч.н.
Тогда общее неоднородное диф. уравнение имеет вид:
Ответ:
Вас заинтересует
1 год назад
6 лет назад
8 лет назад
8 лет назад
9 лет назад