Question

Две окружности пересекаются в точках CC и DD. Точка BB — центр второй окружности, а отрезок ABAB — диаметр первой. Из точки CC провели касательную к первой окружности, которая пересекает вторую окружность в точке EE, отличной от CC. Найдите радиус первой окружности, если радиус второй равен 25, а длина отрезка CECE равна 30.

Answer 1

Обозначим центр первой окружности буквой О, её радиус - r.
Из центра В второй окружности проведём перпендикуляр ВК к хорде СЕ.
Точка К будет серединой СЕ (по свойству хорды).
Найдём длину отрезка ВК:
ВК = √(ВЕ²-КЕ²) = √(25²-(30/2)²) = √(625-225) = √400 = 20.
Имеем четырёхугольник ОСКВ с двумя прямыми углами С и К.
Проведём перпендикуляр из точки В к радиусу ОС.
Получим прямоугольный треугольник с катетами 15 и (r - 20).
Гипотенуза этого треугольника равна радиусу r.
 r² = 15² + (r - 20)².
 r² = 225 + r² - 40r + 400. 
 40r = 625.
 r = 625/40 = 125/8 = 15,625.

Приведенный рисунок в задании выполнен не в масштабе - радиус второй окружности и хорда СЕ не пропорциональны.
Поэтому ВК будет больше r и фразу "Проведём перпендикуляр из точки В к радиусу ОС" надо заменить на "Проведём перпендикуляр из точки О к отрезку ВК".
И далее:
Получим прямоугольный треугольник с катетами 15 и (20 - r).
Гипотенуза этого треугольника равна радиусу r.
 r² = 15² + (20 - r)².
 r² = 225 + 400 - 40r + r². 
 40r = 625.
 r = 625/40 = 125/8 = 15,625.