Question

Решить дифференциальное уравнение:

xy'+y-eˣ=0

Answer 1

Разделим обе части уравнения на х
$y'+ dfrac{y}{x} = dfrac{e^x}{x}$
Это дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенной относительно производной, неоднородное.
Пусть $y=uv$, тогда $y'=u'v+uv'$

$u'v+uv'+ dfrac{uv}{x} = dfrac{e^x}{x} \ \ \ u'v+ubigg(v'+ dfrac{v}{x}bigg) =dfrac{e^x}{x}$
Решение состоит из двух этапов:
1) Предполагаем, что второе слагаемое равен нулю
$v'+ dfrac{v}{x} =0\ \ v'=- dfrac{v}{x}$
Получили уравнение с разделяющимися переменными.
По определению дифференциала
$dfrac{dv}{dx} =- dfrac{v}{x} \ \ dfrac{dv}{v} =-dfrac{dx}{x}$
Интегрируя обе части уравнения, получаем:
$displaystyle intlimits {dfrac{dv}{v} } ,=- intlimits {dfrac{dx}{x} } , \ \ ln|v|=-ln|x|\ v= frac{1}{x}$

2) Раз предположили что второе слагаемое = 0, то

$displaystyle u'v= frac{e^x}{x} \ \ u'cdot frac{1}{x}=frac{e^x}{x}\ \ \ u'=e^x$
Интегрируя обе части уравнения, получаем:
$displaystyle u= intlimits {e^x} , dx =e^x+C$

Выполним обратную замену:

$y=uv=dfrac{e^x+C}{x}$ - общее решение исходного уравнения


Ответ: $y=dfrac{e^x+C}{x}$