Ответы
Ответ дал:
0
Разделим обе части уравнения на х
![y'+ dfrac{y}{x} = dfrac{e^x}{x} y'+ dfrac{y}{x} = dfrac{e^x}{x}](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%2B+dfrac%7By%7D%7Bx%7D+%3D+dfrac%7Be%5Ex%7D%7Bx%7D+)
Это дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенной относительно производной, неоднородное.
Пусть
, тогда ![y'=u'v+uv' y'=u'v+uv'](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3Du%27v%2Buv%27)
![u'v+uv'+ dfrac{uv}{x} = dfrac{e^x}{x} \ \ \ u'v+ubigg(v'+ dfrac{v}{x}bigg) =dfrac{e^x}{x} u'v+uv'+ dfrac{uv}{x} = dfrac{e^x}{x} \ \ \ u'v+ubigg(v'+ dfrac{v}{x}bigg) =dfrac{e^x}{x}](https://tex.z-dn.net/?f=u%27v%2Buv%27%2B+dfrac%7Buv%7D%7Bx%7D+%3D+dfrac%7Be%5Ex%7D%7Bx%7D+%5C+%5C+%5C+u%27v%2Bubigg%28v%27%2B+dfrac%7Bv%7D%7Bx%7Dbigg%29+%3Ddfrac%7Be%5Ex%7D%7Bx%7D+)
Решение состоит из двух этапов:
1) Предполагаем, что второе слагаемое равен нулю
![v'+ dfrac{v}{x} =0\ \ v'=- dfrac{v}{x} v'+ dfrac{v}{x} =0\ \ v'=- dfrac{v}{x}](https://tex.z-dn.net/?f=v%27%2B+dfrac%7Bv%7D%7Bx%7D+%3D0%5C+%5C+v%27%3D-+dfrac%7Bv%7D%7Bx%7D+)
Получили уравнение с разделяющимися переменными.
По определению дифференциала
![dfrac{dv}{dx} =- dfrac{v}{x} \ \ dfrac{dv}{v} =-dfrac{dx}{x} dfrac{dv}{dx} =- dfrac{v}{x} \ \ dfrac{dv}{v} =-dfrac{dx}{x}](https://tex.z-dn.net/?f=+dfrac%7Bdv%7D%7Bdx%7D+%3D-+dfrac%7Bv%7D%7Bx%7D+%5C+%5C++dfrac%7Bdv%7D%7Bv%7D+%3D-dfrac%7Bdx%7D%7Bx%7D+)
Интегрируя обе части уравнения, получаем:
![displaystyle intlimits {dfrac{dv}{v} } ,=- intlimits {dfrac{dx}{x} } , \ \ ln|v|=-ln|x|\ v= frac{1}{x} displaystyle intlimits {dfrac{dv}{v} } ,=- intlimits {dfrac{dx}{x} } , \ \ ln|v|=-ln|x|\ v= frac{1}{x}](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle++intlimits+%7Bdfrac%7Bdv%7D%7Bv%7D+%7D+%2C%3D-+intlimits+%7Bdfrac%7Bdx%7D%7Bx%7D+%7D+%2C+%5C+%5C+ln%7Cv%7C%3D-ln%7Cx%7C%5C+v%3D+frac%7B1%7D%7Bx%7D+)
2) Раз предположили что второе слагаемое = 0, то
![displaystyle u'v= frac{e^x}{x} \ \ u'cdot frac{1}{x}=frac{e^x}{x}\ \ \ u'=e^x displaystyle u'v= frac{e^x}{x} \ \ u'cdot frac{1}{x}=frac{e^x}{x}\ \ \ u'=e^x](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle+u%27v%3D+frac%7Be%5Ex%7D%7Bx%7D+%5C+%5C+u%27cdot+frac%7B1%7D%7Bx%7D%3Dfrac%7Be%5Ex%7D%7Bx%7D%5C+%5C+%5C+u%27%3De%5Ex)
Интегрируя обе части уравнения, получаем:
![displaystyle u= intlimits {e^x} , dx =e^x+C displaystyle u= intlimits {e^x} , dx =e^x+C](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle+u%3D+intlimits+%7Be%5Ex%7D+%2C+dx+%3De%5Ex%2BC)
Выполним обратную замену:
- общее решение исходного уравнения
Ответ:![y=dfrac{e^x+C}{x} y=dfrac{e^x+C}{x}](https://tex.z-dn.net/?f=y%3Ddfrac%7Be%5Ex%2BC%7D%7Bx%7D)
Это дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенной относительно производной, неоднородное.
Пусть
Решение состоит из двух этапов:
1) Предполагаем, что второе слагаемое равен нулю
Получили уравнение с разделяющимися переменными.
По определению дифференциала
Интегрируя обе части уравнения, получаем:
2) Раз предположили что второе слагаемое = 0, то
Интегрируя обе части уравнения, получаем:
Выполним обратную замену:
Ответ:
Вас заинтересует
1 год назад
6 лет назад
6 лет назад
8 лет назад
8 лет назад
9 лет назад