Question

Робот может двигаться по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Один
его «шаг» состоит в передвижении на 2 метра в одном направлении и на 1 метр в
перпендикулярном ему направлении.
1) На какое наибольшее расстояние может удалиться робот за 5 «шагов»?
3
2) Может ли робот за 8 «шагов» попасть в точку, которая получается из данной
перемещением на 8 метров в одном направлении и на 14 метров в перпенди-
кулярном ему направлении?
3) Какое наименьшее количество «шагов» потребуется роботу, чтобы попасть в
точку, которая получается из данной перемещением на 30 м в одном направ-
лении, а затем на 24 м в перпендикулярном ему направлении?

Answer 1

Решу эти задачи графически.

Задача № 1.

Сделав один шаг, робот удалится на расстояние $sqrt{2^2+1^2}=sqrt{5}$, т.к. он идет на 2 м в одном направлении, а потом на 1 м в другом направлении, то соединив точки старта и финиша получаем прямоугольный треугольник с катетами 2 и 1. По теореме Пифагор вычисляем длину гипотенузы, т.е. расстояние, на которое робот удалился от точки старта.

Рассмотрим случаи, когда робот делает два шага (смотри рисунок).

Пусть первый "шаг" он делает вправо и вверх. Второй тоже вправо и вверх. Также соединяем точку старта и финиша и достраиваем до прямоугольного треугольника. Получаем прямоугольный треугольник с катетами 4 и 2. По теореме Пифагора вычисляем длину гипотенузы, т.е. расстояния, на которое робот удалится от точки старта: $sqrt{4^2+2^2}=sqrt{16+4}=sqrt{20}=2sqrt{5}$

Если робот первый шаг сделал вправо и вверх, а второй вправо и вниз, то от точки старта он удалился на 4 м. Это меньше, чем $2sqrt{5}$

Если робот первый шаг сделал вправо и вверх, а затем вверх и вправо, то, соединив точки старта и финиша и достроив до прямоугольного треугольника, получим прямоугольный треугольник с катетами 3 и 3.

Длина гипотенузы: $sqrt{3^2+3^2}=sqrt{9+9}=sqrt{18}=3sqrt{2}$

Это тоже меньше, чем $2sqrt{5}$

Другие варианты двух "шагов" робота смотри на рисунке.

Из всех вариантов видим, что на наибольшее расстояние робот удаляется тогда, когда идет "лесенкой".

Выстраиваем путь робота "лесенкой". Делаем 5 шагов.

Соединяем точки старта и финиша. Достраиваем полученный отрезок до прямоугольного треугольника (см. рисунок №1). По теореме Пифагора находим длину гипотенузы.

Это и будет наибольшее расстояние, на которое робот удалится за 5 шагов.

Ответ: $5sqrt{5}$

Задача № 2.

Один из вариантов перемещения в точку, полученную из данной путем перемещения на 8 м в одном направлении и на 14 м в перпендикулярном направлении представлен на рисунке № 2.

Робот делает 8 "шагов" и оказывается в нужной точке.

Вывод: робот может за 8 "шагов" попасть в нужную точку.

Задача 3.

Откладываем 30 м в одном направлении и 24 м в перпендикулярном ему направлении. Соединяем первоначальную точку и точку, получившуюся путем перемещения.

Получаем отрезок.

Этот отрезок и будет кратчайшим расстоянием между точками старта и финиша (на рисунке № 3 он выделен красной пунктирной линией).

Путь робота должен быть максимально приближен к этому отрезку, чтобы он сделал наименьшее количество шагов.

Выстраиваем путь робота так, чтобы точка старта и финиша каждого шага была максимально приближена к отрезку. При этом робот должен идти только веред. Движение назад или отклонение в сторону увеличит количество "шагов".

Считаем количество сделанных "шагов" и получаем ответ: 18 "шагов".

Ответ: 18