Ответы
. Исследовать функцию y= 2x^3 + 3x^2 - 2 и построить ее график.
Решение:
1. Область определения функции - вся числовая ось.
2. Функция y= 2x^3 + 3x^2 - 2 непрерывна на всей области определения. Точек разрыва нет.
3. Четность, нечетность, периодичность:
f(–x) = 2(–x)³+3(–x)²-2 = –2x³+3x²-2 ≠ f(x) и f(–x) = 2(–x)³+3(–x)²-2 =
–2x³+3x²-2 = -(2x³-3x²+2) ≠ –f(x)
Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция непериодическая.
4. Точки пересечения с осями координат:
График функции пересекает ось X при y = 0. значит надо решить уравнение:
2x³ + 3x² - 2 = 0.
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение даёт 2 комплексных и один действительный корень.
Численное решение
x_{1} = 0,6776507.
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2x³ + 3*x² - 2.2*0^{3} + 3*0² - 2.
Результат:
f(0) = -2.
Точка:
(0, -2).
5. Промежутки монотонности и точки экстремума:
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0. (производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0.
Первая производная 6 x^{2} + 6 x = 0.Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
x_{1} = -1
x_{2} = 0.
Значит, экстремумы в точках: (-1, -1) и (0, -2).
6. Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:Минимумы функции в точках:
x_{2} = 0
Максимумы функции в точках: x_{2} = -1.
Убывает на промежутках (-oo, -1] U [0, oo)
Возрастает на промежутках [-1, 0]
7. Вычисление второй производной:
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0.
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = Вторая производная
6 left(2 x + 1right) = 0.
Решаем это уравнение.
Корни этого уравнения
x_{1} = - frac{1}{2}
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках [-1/2, oo)
Выпуклая на промежутках (-oo, -1/2]
8. Искомый график функции дан в приложении.