Question

$S_{7} =210$         $a_{1} =2$                                                                             d-?

Answer 1

$S_{n} = frac{a_{1} + a_{n}}{2} * a_{n}$

Выразим n член арифметической прогрессии:

$S = frac{a_{1} + a_{n}}{2} * a_{n} \ \ 2S = (a_{1} + a_{n})a_{n} \ \ 2S = a_{1}a_{n} + a^2_{n} \ \ frac{a_{1}^2}{4} + a_{1}a_{n} + a_{n}^2 = frac{a^2}{4} + 2S \ \ ( frac{a_{1}}{2} + a_{n})^2 = frac{a^2}{4} + 2S \ \ frac{a_{1}}{2} + a_{n} = sqrt{ frac{a^2}{4} + 2S } \ \ a_{n} = sqrt{ frac{a^2}{4} + 2S } - frac{a_{1}}{2}$

Ну или можно было бы просто найти корни, по формуле квадратного уравнения и чуть легче выразить, но я поступил по сложнее конечно.

Найдём его подставив в формулу:$a_{7} = sqrt{ frac{4}{4} + 420 } - frac{2}{2} = sqrt{421} - 1 \ \ a_{7} = sqrt{421} - 1$

$a_{n} = a_{1} + d(n-1)$

$sqrt{421} - 1 = 2 + 6d \ \ 6d = sqrt{421} -1 -2 \ \ 6d = sqrt{421} - 3 \ \ d = frac{{ sqrt{421} } - 3}{6}$

Ответ - $frac{sqrt{421}-3}{6}$

P.S, Сам удивился таким ответам, но по крайнее мере, я проверил с разность, увидел формулу 7 члена получилось то что получилось до этого. То есть сам 7 член действительно.

Answer 2

А вообще, по формуле н члена зная сумму и первый, там нюанс есть один, -b + корень из дискриминанта, а может быть минус корень из дискриминанта, там получится два корня. Не разобрал еще этот случай, но там тоже корень не вычисляется.

Answer 3

Да тут можно было бы не выражать просто подставить в формулу решить дробно рационально - квадратное уравнение и подставить потом в формулу н члена, и потом решить уравнение на d