Question

Докажите, что при любом n ∈ N неравенство верно:
$4^n textgreater 7n - 5$

Answer 1

используем метод математической индукции

1) n∈N

пусть n=1

тогда
$displaystyle 4^1 textgreater 7*1-5$

$displaystyle 4 textgreater 2$

верно

2) допустим верно для n=K. k∈N. k>1

т.е.  $displaystyle 4^k textgreater 7*k-5$ верно

3) докажем что верно для n=k+1

$displaystyle 4^{k+1} textgreater 7*(k+1)-5$

Используя предположение индукции

т.к. $displaystyle 4^k textgreater 7k-5$
домножим неравенство на 4

$displaystyle 4^{k+1} textgreater (7k-5)*4$

$displaystyle 4^{k+1} textgreater 28k-20$

теперь имеем
$displaystyle left { {{4^{k+1} textgreater 7k+2} atop {4^{k+1} textgreater 28k-20} right.$

сравним правые части
$displaystyle 28k-20 textgreater 7k+2$

$displaystyle 28k-7k textgreater 2+20$

$displaystyle 21k textgreater 22$

т.к. k∈N. k>1
то неравенство верное для любого к
значит если 
$displaystyle 4^{k+1} textgreater 28k-20 textgreater 7k+2$

Значит неравенство истинно для n=k+1

Вывод:
Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.

 

Answer 2

Спасибо, я тоже вычитанием решал