Question

Образующая конуса равна b и наклонена к основанию под углом a. Найти 1) радиус вписанного шара 2) объём этого шара

Answer 1

Радиус окружности вписанной в треугольник вычисляется по формуле:

$r=frac{S}{P}$ где S-площадь треугольника а P-его периметр.

 Исходя из геометрии задачи и приложенного рисунка, найдем радиус конуса:

$cosalpha=frac{R}{b}$

Откуда $R=bcosalpha$

Найдем высоту конуса:

 $h=bsinalpha$

Тогда площадь треугольника равна:

 $S=h*R=frac{b^2sin2alpha}{2}$

 Найдем его периметр:

$P=2h+R=2b(sinalpha+cosalpha)$

 Тогда радиус вписанной окружности равен:

 $r=frac{S}{P}=frac{frac{b^2sin2alpha}{2}}{2b(sinalpha+cosalpha)}$

 Тогда объем этой сферы будет равен:

$V=frac43pi r^3=frac43pi (frac{frac{b^2sin2alpha}{2}}{2b(sinalpha+cosalpha)})^3$