Question

найти производную второго порядка от функции заданной параметрически

x=e^t sint

y=e^t cost

Answer 1

Производная первого порядка.

$displaystyle tt y'_x=frac{y'_t}{x'_t}=frac{e^tcos t-e^t sin t}{e^tsin t+e^tcos t}=frac{cos t-sin t}{sin t+cos t}$

Производная второго порядка от параметрической функции:

$tt displaystyle y''_{xx}=frac{(y'_x)'_t}{x'_t}$

$displaystyle tt (y'_x)'_t=bigg(frac{cos t-sin t}{cos t+sin t}bigg)'_t=frac{(-sin t-cos t)(cos t+sin t)-(cos t-sin t)^2}{(cos t + sin t)^2}=\ \ =-frac{(cos t+sin t)^2+(cos t-sin t)^2}{(cos t+sin t)^2}=-frac{2}{(cos t+sin t)^2}$

$tt displaystyle y''_{xx}=-frac{2}{(e^tsin t+e^tcos t)(cos t+sin t)^2}=-frac{2}{e^t(cos t+sin t)^3}$