Question

Доказать, что неравенство x20-x^17+x^14-x^3+x^2-x+1>0 выполняется для всех действительных значений х.

Answer 1

Рассмотрим случаи.
1) Если $x leq 0$, то
$x^{20}-x^{17}-x^3+x^2-x+1 textgreater 0$
2) Если $0 textless x leq 1$, то
$x^{20}-x^{17}+x^{14}-x^3+x^2-x+1 geq x^{20}-x^{17}+x^{14}-x+1\ x^{20}-x^{17}+x^{14}-x+1 geq x^{20}-x+1\ x^{20}-x+1 geq x^{20}\ x^{20} textgreater 0$
3) Если $x textgreater 1$, то
$x^{20}-x^{17}+x^{14}-x^3+x^2-x+1 textgreater x^{14}-x^3+x^2-x+1\ x^{14}-x^3+x^2-x+1 textgreater x^2-x+1\ x^2-x+1 textgreater 1\ 1 textgreater 0$

Во всех случаях видим, что левая часть неравенства принимает только положительные значения