Question

Основание пирамиды - ромб с большей диагональю d и острым углом альфа. Все двугранные углы при основании пирамиды равны бета. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Answer 1

$S= frac{d^2*sin alpha*(cos beta +1) }{2*(1+cos alpha )*cos beta }$ В основании данной пирамиды лежит ромб. 

Следовательно, площадь S полной поверхности данной пирамиды равна сумме S1 –(площади основания), и S2 –(площади 4-х равных боковых сторон). 

Примем сторону основания равной а. 

Формула площади параллелограмма S=a•b•sinα, где a и b соседние стороны, α -угол между ними.  Стороны ромба равны. Поэтому

 S1=a²•sinα 

S2=SH•4a:2=SH•2a (SH- высота боковой грани)

S=a²•sinα+2a•SH

Так как боковые грани наклонены к основанию под одинаковым углом,  ОН=r вписанной в основание окружности, равен половине высоты  h основания и по т. о трёх перпендикулярах является проекцией высоты SH боковой грани, а угол SHO= β  =>

SH=OH:cosβ

OH= 0,5•h=a•sinα/2

SH=a•sinα/2cosβ

S2=[2a•(a•sinα)/2]:cosβ=a²•sinα/cosβ

S=a²•sinα+ a²•sinα/cosβ=>

S=(a²•sinα•cosβ+a²•sinα):cosβ=a²•sinα•(cosβ+1):cosβ

--------------

Выразим а²  из  ∆ BCD 

 В ∆ DCB BD=d 

∠DCB=180°- ∠CDA  

 cos∠DCB= - cos∠CDA= -cosα 

По т.косинусов BD²=CD²+BC²-2CD•CB•(-cosα )

d²=a²+a²-2a²•(-cosα )=> 

а²=d²:2(1+cosа)

Подставив в S значение а², получим:

S=d²•sinα•(cosβ+1):2(1+cosα)•cosβ

$S= frac{d^2*sin alpha *(cos beta +1)}{2*(1+cos alpha )*cos beta }$