Question

почему Печорин начинает ухаживать за мери?

Answer 1

Во-первых, из-за спора с Грушницким.
Во-вторых, из-за скуки.
В-третьих, он сам объяснил в своем дневнике, почему он добивается любви Мери:

"... это следствие того скверного, но непобедимого чувства,
которое заставляет нас уничтожать сладкие заблуждения ближнего, чтоб иметь
мелкое удовольствие сказать ему, когда он в отчаянии будет спрашивать, чему
он должен верить: "Мой друг, со мною было то же самое, и ты видишь, однако,
я обедаю, ужинаю и сплю преспокойно и, надеюсь, сумею умереть без крика и
слез! "