Question

Решение Параметра. С объяснением.

Задача:  Найдите все  значения параметра a,  при каждом из которых  имеет ровно 1 корень уравнение:  x|x+2a|+1=a

Answer 1

1)

x>-2a

x(x+2a)+1=a

x^2+2ax+1=a

x^2+2ax+(1-a)=0

D=4a^2-4*1(1-a)=0

Квадратичное уравнение имеет  1 корень когда ее дискриминант равен 0

4a^2-4+4a=0

4a^2+4a-4=0

D=16-4*4*-4=√80

a=(-4+√80)/8

a=(-4-√80)/8

при a= (-4+√80)/8 имеет  1 корень  и походит условию x>-2a

 

 

теперь второй случай 

 

 

 

2)

|x+2a|<0

x<-2a

 

x|x+2a|=a-1

x|x+2a|=1-a

x^2+2ax-(1-a)=0

D=4a^2+4(1-a)=0

4a^2+4-4a  =0

D=16-4*4*4<0

нет!

 

Answer 2

 x|x+2a|+1=a

1) х + 2а > 0, тогда

х(х+2а)+1 = а

$x^{2}+2ax+1=a\x^{2}+2ax+1-a=0\D=(2a)^{2}-4(1-a)=0\4a^{2}-4+4a=0\a^{2}+a-1=0\D_{1}=1+4=5>0\a_{1}=frac{-1-sqrt{5}}{2};a_{2}=frac{-1+sqrt{5}}{2}$

2) x+2a<0, тогда

х(-х-2а)+1 = а

$-x^{2}-2ax+1=a\-x^{2}-2ax+1-a=0\x^{2}+2ax+a-1=0\D=(2a)^{2}-4(a-1)=0\4a^{2}-4a+4=0\a^{2}-a+1=0\D_{1}=1-4=-3<0;$

здесь корней нет.

3) х+2а = 0, тогда а = 1;

4) х = 0, то а =1.

Ответ: уравнение имеет ровно один корень при$a={-1-sqrt{5}; 1; -1+sqrt{5}.}$