Question

Участок имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Площадь участка равна 12,5 м². При каком радиусе полукруга периметр участка будет наименьшим?

Answer 1

Участок показан на рисунке.
Прямоугольник имеет размеры a x b, полукруг R = a/2.
Площадь участка S = a*b + pi*R^2/2 = 2R*b + pi*R^2/2 = 12,5
Выразим отсюда $b = frac{25 - pi*R^2}{4R}$
Периметр $P = a + 2b + piR = R(2+pi) + frac{25 - piR^2}{2R}= frac{4R^2+2piR^2+25-piR^2}{2R}$
$P= frac{4R^2+piR^2+25}{2R}$
Нам нужно P => min. Решаем через производную
$P'= frac{(8R+2piR)*2R-(4R^2+piR^2+25)*2}{4R^2} = frac{8R^2+2piR^2-4R^2-piR^2-25}{2R^2} =0$
Если дробь равна 0, то числитель равен 0, а знаменатель нет.
4R^2 + pi*R^2 - 25 = 0
R^2 = 25/(4+pi)
R = 5/√(4+pi)
a = 2R
$b = frac{25 - piR^2}{4R}= frac{25-pi*25/(4+pi)}{4*5/ sqrt{4+pi} } = frac{5(4+pi)-5pi}{4+pi}: frac{4}{ sqrt{4+pi} } =$
$=frac{20}{4+pi}* frac{ sqrt{4+pi} }{4} = frac{5}{ sqrt{4+pi} } =R$
Ответ: радиус R = 5/√(4+pi); a = 2R; b = R