Question

30 баллов за решение!

Answer 1

3x^3 - 4x^2 + 4x - 1 = 0
Обычное кубическое уравнение.
Решаем методом Кардано. Жаль, что его в школе не проходят.
1) Замена x = y + 4/9. Цель - избавиться от члена x^2
3(y+4/9)^3 - 4*(y+4/9)^2 + 4(y+4/9) - 1 = 0
3(y^3+3*4/9*y^2+3*(4/9)^2*y+(4/9)^3)-4(y^2+2*4/9*y+(4/9)^2)+4y+16/9-1=0
3y^3+4y^2+16/9*y+64/243-4y^2-32/9*y-64/81+4y+16/9-1 = 0
3y^3 + (16/9-32/9+36/9)*y + (64/243-64/81+7/9) = 0
Делим на 3
y^3 + 20/27*y + (64-192+7*27)/243 = 0
y^3 + 20/27*y + 61/729 = 0
Классическое кубическое уравнение вида 
y^3 + py + q = 0; где p = 20/27 = 20/3^3; q = 61/729 = 61/3^6
Дискриминант
$Q = ( frac{q}{2} )^2 + ( frac{p}{3} )^3 = ( frac{61}{2*3^6} )^2 + ( frac{20}{3^4} )^3 = frac{61^2}{4*3^{12}} + frac{20^3}{3^{12}} = frac{61^2+4*20^3}{4*3^{12}} = frac{35721}{4*3^{12}}$
$sqrt{Q}= frac{ sqrt{35721} }{2*3^6}= frac{189}{2*3^6}$
Корень
$y= sqrt[3]{- frac{q}{2}- sqrt{Q}}+sqrt[3]{- frac{q}{2}+ sqrt{Q}}=sqrt[3]{- frac{61}{2*3^6}- frac{189}{2*3^6} }+sqrt[3]{- frac{61}{2*3^6}+frac{189}{2*3^6} }=$
$=sqrt[3]{frac{-61-189}{2*3^6}}+sqrt[3]{frac{-61+189}{2*3^6}}=sqrt[3]{frac{-250}{2*3^6}}+sqrt[3]{frac{128}{2*3^6}}=sqrt[3]{frac{-125}{3^6}}+sqrt[3]{frac{64}{3^6}}=$
$=- sqrt[3]{ frac{5^3}{3^6} } + sqrt[3]{ frac{4^3}{3^6} }=- frac{5}{9} + frac{4}{9} =- frac{1}{9}$
Корень исходного уравнения
x = y + 4/9 = -1/9 + 4/9 = 3/9 = 1/3

Можно решить и более школьным методом.
3x^3 - 4x^2 + 4x - 1 = 0
3x^3 - x^2 - 3x^2 + x + 3x - 1 = 0
x^2*(3x - 1) - x(3x - 1) + (3x - 1) = 0
(3x - 1)(x^2 - x + 1) = 0
1) 3x - 1 = 0; x = 1/3
2) x^2 - x + 1 = 0
Это уравнение корней не имеет.
Единственный корень x = 1/3, но этот метод подходит не во всех случаях.