Question

составить уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности 2x^2+3y^2+4z^2-x^2y-y^3-3z^3-4=0 в точке Mo(1,1,1)

Answer 1

$F(x,y,z)=2x^2+3y^2+4z^2-x^2y-y^3-3z^3-4$

Уравнение касательной в общем виде:
   $z-z_0= dfrac{partial z}{partial x}(x_0,y_0,z_0)cdot (x-x_0)+ dfrac{partial z}{partial y} (x_0,y_0,z_0)cdot (y-y_0)$

Заданная функция является неявным, значит частные производные будем искать таким образом:

$displaystyle frac{partial z}{partial x} =- frac{ frac{partial F}{partial x} }{ frac{partial F}{partial z} } =- frac{4x-2xy}{8z-9z^2} \ \ \ frac{partial z}{partial y} =- frac{ frac{partial F}{partial y} }{ frac{partial F}{partial z} } =- frac{6y-3y^2-x^2}{8z-9z^2}$

Посчитаем значения частных производных в точке M0

$displaystyle frac{partial z}{partial x} (x_0,y_0,z_0)= -frac{4cdot 1-2cdot1cdot 1}{8cdot 1-9cdot1^2} =2\ \ \ frac{partial z}{partial y} (x_0,y_0,z_0)=- frac{6cdot1-3cdot 1^2-1^2}{8cdot 1-9cdot1^2} =2$

Теперь осталось подставить в общий вид касательной

$z-1=2(x-1)+2(y-1)\ \ boxed{2x+2y-z-3=0}$

Уравнение нормали в общем виде:
  $displaystyle frac{x-x_0}{ frac{partial z}{partial x}(x_0,y_0,z_0) } = frac{y-y_0}{ frac{partial z}{partial y}(x_0,y_0,z_0) } = frac{z-z_0}{-1}$

тогда уравнение нормали нашей плоскости

$boxed{ frac{x-1}{2}= frac{y-1}{2}=1-z }$