Question

Точки разрыва и вертикальные асимптоты. Определите интервалы непре-рывности, пределы функции на границах области определения (-oo; +oo) . Совместите с определением наклонных асимптот
y= (x^2 + 2x +4) / (x+2)

Answer 1

Здесь вертикальные асимптоты - это линии x = a, при которых знаменатель равен 0. В данном случае x = -2.
Наклонная или горизонтальная асимптота - это прямая f(x) = kx + b,
где коэффициенты k и b определяются пределами:
$k = lim_{x to infty} frac{y(x)}{x} =lim_{x to infty} frac{x^2+2x+4}{x(x+2)} =lim_{x to infty} frac{x^2+2x+4}{x^2+2x} =1$
$b= lim_{x to infty} (y(x)-k*x)=lim_{x to infty} ( frac{x^2+2x+4}{x+2} -1*x)=$
$lim_{x to infty} frac{x^2+2x+4-x(x+2)}{x+2}=lim_{x to infty} frac{x^2+2x+4-x^2-2x}{x+2}=lim_{x to infty} frac{4}{x+2}=0$
Получаем наклонную асимптоту f(x) = 1x + 0 = x
Если бы было k = 0, то асимптота была бы горизонтальной: f(x) = b.

Answer 2

В точках устранимого разрыва и неустранимого 1 рода вертикальных асимптот нет. Но в этой функции и нет таких разрывов.