Question

1.При каких значениях параметра для всех х, таких что 1<х<2, выполняется неравенство x^2+ax^2+a^2+6a <0

 

2. Найти все значения параметра, для которых неравенство x^2-ax+a>0 верно при всех |x|<1

Answer 1

1)

$x^2+ax^2+a^2+6a<0$

$x^2+ax^2+6a+a^2=0$

$D=a^2-4*1*(6a+a^2)=a^2-24a-4a^2$

$x=frac{-a+sqrt{D}}{2}=frac{-a+sqrt{-3a^2-24a}}{2}$

$x=frac{-a-sqrt{D}}{2}=frac{-a-sqrt{-3a^2-24a}}{2}$

Так как $1<x<2$ получаем:

$1<frac{-a+sqrt{-3a^2-24a}}{2}<2$

$2<-a+sqrt{-3a^2-24a}<4$

Получаем:

$(2+a)^2<-3a^-24a$

$-3a^2-24a<(4+a)^2$

Получаем:

$a^2+14a+2>0$

$a=frac{-14+2sqrt{47}}{2}$

$a=frac{-14-2sqrt{47}}{2}$

Тогда получаем a∈$(-infty;frac{-14-2sqrt{47}}{2})cup(frac{-14+2sqrt{47}}{2};+infty)$

$a^2+16a+8>0$

$a=frac{-16+4sqrt{14}}{2}$

$a=frac{-16-4sqrt{14}}{2}$

Тогда получаем:a∈$(-infty;frac{-16-4sqrt{14}}{2})cup(frac{-16+4sqrt{14}}{2};+infty)$

Объединяя оба участка получаем:

a∈$(-infty;frac{-16-4sqrt{14}}{2})cup(frac{-14+2sqrt{47}}{2};+infty)$

Второй случай будет аналогичен при $a=frac{-16-4sqrt{14}}{2}$

Ответ:a∈$(-infty;-8-2sqrt{14})cup(-7+sqrt{47};+infty)$

 

2)

$x^2-ax+a>0$

$D=a^2-4a$

$x=frac{a-sqrt{D}}{2}=frac{a-sqrt{a^2-4a}}{2}$

$x=frac{a-sqrt{a^2-4a}}{2}$

т.к $|x|<1$

Получаем:

$-1<x<1$

Получаем:

$-1<frac{a-sqrt{a^2-4a}}{2}<1$

$-2<a-sqrt{a^2-4a}<2$

$(-2-a)^2<a^2-4a<(2-a)^2$

Получаем:

$(-2-a)^2<a^2-4a$

$a>-frac{1}{2}$

$a^2-4a<(2-a)^2$

Неравенство не имеет решений

Получаем: $a>-frac{1}{2}$

Ответ: $a>-frac{1}{2}$