Question

выш. мат. интегралы
Пожалуйста, помогите т. т
1. Найти общий интеграл деф ур
2. Решение задачи Коши

Answer 1

1) 3y' = y^2/x^2 + 8y/x + 4
Это однородное уравнение 1 порядка. Решается заменой y(x) = t(x)*x
Тогда y' = t'(x)*x + t(x)
3(t'*x + t) = (t^2*x^2)/x^2 + 8(t*x)/x + 4
3t'*x + 3t = t^2 + 8t + 4
3dt/dx*x = t^2 + 5t + 4
3/(t^2 + 5t + 4) dt = dx / x
3/[(t+4)(t+1)] dt = dx / x
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируем
$3 int { frac{dt}{(t+4)(t+1)} }=3int { frac{1}{3} (frac{1}{(t+1)}-frac{1}{(t+4)}) }dt=int { (frac{1}{(t+1)}-frac{1}{(t+4)}) }dt=ln| frac{t+1}{t+4} |$
$int { frac{dx}{x} }=ln|x|$
Приравниваем
$ln| frac{t+1}{t+4} |=ln|x|$
$frac{t+1}{t+4} = frac{t+4-3}{t+4} =1- frac{3}{t+4} =x$
$frac{3}{t+4} =1-x$
$t=y*x= frac{3}{1-x} -4= frac{3-4+4x}{1-x} = frac{4x-1}{1-x}$
$y= frac{4x-1}{x(1-x)} +C$

2) y' + y/(2x) = x^2
Это неоднородное уравнение 1 порядка. Замена y(x) = u(x)*v(x)
Тогда y'(x) = u'*v + v'*u
u'*v + v'*u + u*v/(2x) = x^2
u'*v + u*(v' + v/(2x)) = x^2
Выберем такую функцию v, что коэффициент при u равен 0.
v' + v/(2x) = 0
dv/dx = -v/(2x)
dv/v = -1/2*dx/x
ln |v| = -1/2*ln |x| = ln |x^(-1/2)|
v = x^(-1/2)
Подставляем в уравнение
u'*v + u*0 = x^2
u'*x^(-1/2) = x^2
u' = x^2*x^(1/2) = x^(2,5)
Интегрируем
u = x^(3,5) / 3,5 = 2x^(3,5)/7
Обратная замена
y = u*v = 2x^(3,5)/7*x^(-1/2) + C = 2x^3/7 + C
Теперь решаем задачу Коши.
y(1) = 2*1/7 + C = 1
C = 1 - 2/7 = 5/7
Ответ: y = 2x^3/7 + 5/7