Question

Найти длину медианы AM ,если вершины треугольника ABC : А (3;-3) , В(-1;1),С(1;6)

Answer 1

Предположим что треугольник построен как показано на рисунке во вложении. Так как медиана треугольника делит сторону на которую падает пополам, можем воспользоваться формулой середины отрезка для BC:

$M=(frac{x_1+x_2}{2};frac{y_1+y_2}{2})=(frac{-1+1}{2};frac{1+6}{2})=(0;frac{7}{2})$

Тогда длина медианы будет численно равна длине вектора AM:

$AM=(-3;frac{13}{2})$

Получаем:

$|AM|=sqrt{3^2+(frac{13}{2})^2}=sqrt{frac{205}{4}}=frac{sqrt{205}}{2}$

Ответ: $frac{sqrt{205}}{2}$

Answer 2

медиана это отрезок,который делит сторону треугольника пополам

в давнном случае она опущена из точки А

следовательно делит пополам отрезок ВС, и точка М лежит в середине этого отрезка

воспользуемся формулой нахождения координат середины отрезка:

 

 

$boxed{M=(frac{X_B+X_C}2;frac{Y_B+Y_C}2)}\\\M=(frac{-1+1}2;frac{1+6}2)\\M=(0;3,5)$

 

 

таким образом длина искомой медианы находится по формуле:

 

 

$boxed{|vec{AM}|=sqrt{(X_M-X_A)^2+(Y_M-Y_A)^2}}\\\AM=sqrt{(0-3)^2+(3,5-(-3))^2}=sqrt{51,25}=frac{1}2sqrt{205}$