Question

Упростите выражение ( sin a/2 + cos a/2)^2/ 1+sina ____________________________________________ Найдите угловой коефицент касательной, проведенной к графику функции f(x)=2-x^2+3x^4 в точке с абсцисой x0= -2 ________________________________________________ Точка движется по координатной прямой согласно закону x(t) = 4t^2 где x(t)-координата точки в момент времени t. Найдите скорость точки при t=2. ________________________________________________

Answer 1

$displaystyle frac{(sin frac{alpha}{2}+cosfrac{alpha}{2})^2}{1+sinalpha}=frac{sin^2frac{alpha}{2}+2sinfrac{alpha}{2}cosfrac{alpha}{2}+cos^2frac{alpha}{2}}{1+sinalpha}=frac{1+sinalpha}{1+sin alpha}=1$

Здесь было использовано основное тригонометрическое тождество $sin^2frac{alpha}{2}+cos^2frac{alpha}{2}=1$ и использована формула синуса двойного угла: $2sinfrac{alpha}{2}cosfrac{alpha}{2}=sin(2cdotfrac{alpha}{2})=sinalpha$

2) По геометрическому смыслу производной: $f'(x_0)=k$, т.е. производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

$f'(x)=(2-x^2+3x^4)'=12x^3-2x\ k=f'(-2)=12cdot(-2)^3-2cdot(-2)=-92$

Ответ: -92.

3) По физическому смыслу производной: v(t) = x'(t).

$x'(t)=(4t^2)'=8t\ v(2)=8cdot2=16$

Ответ: 16 м/с.