Question

В основании конуса проведены две равные хорды АВ и ВС, причём ∠АВС =60°. Через одну из хорд и вершину конуса проходит плоскость. Вычислите объём конуса, если его сечение представляет собой равносторонний треугольник, площадь которого равна 9√3 см².

Answer 1

Обозначим вершину конуса М. 

Соединив  точки А и С, получим равнобедренный ∆ АВС с углом при В=60°, ⇒ ∆ АВС - равносторонний, для которого окружность, ограничивающая основание конуса - описанная. 

По условию сечение АМВ - равносторонний треугольник, и  стороны АВС равны его сторонам, т.к. АВ - общая их сторона.

S∆ АМВ=9√3

S ∆AMB=(a²√3):4 формула площади правильного треугольника. ⇒

(a²√3):4=9√3 ⇒ a²=4•9; a=√36=6

Формула радиуса описнной окружности R=a:√3

R=ВО=6:√3

Из ∆ ВОМ высота МО=√(BM*-BO*)=√(36-12)=2√6

Формула объема конуса V=S•h:3

S=πR²=π•36:3=12π

V=(12π•2√6):3=8π√6см³