Question

найти все двухзначные числа которые кратны произведению своих цифр

Answer 1

Пусть двузначное число составлено из двух цифр a и b, причём a≠0 и b≠0. Тогда число можно представить в виде суммы  $overline{ab}=10a+b$.

Сразу проверим случай  a=b :  $dfrac {10a+a}{acdot a}=dfrac {11}{a}$. Так как число 11 - простое (делители 1 и 11), только число 11 будет кратно 1·1. Другие двузначные числа не подходят под условие.

Число кратно произведению цифр ab.

$dfrac {10a+b}{ab}=k,~kin N\\kab=10a+b~~|:bneq 0 \\ka=dfrac{2cdot 5cdot a}b+1$

Так как числа  ka и 1 - целые, значит, дробь должна тоже стать целым числом. Знаменатель b должен быть равен 1 или сократиться.

$1)~boldsymbol{b=1;}~~a=dfrac {b}{kb-10}=dfrac 1{k-10};~~~k=11; boldsymbol{a=1}$

$2)~boldsymbol{b=2;}~~dfrac {10a+2}{2a}=5+dfrac 1{a};~~~boldsymbol{a=1}$

$3)~boldsymbol{b=5;}~~dfrac {10a+5}{5a}=2+dfrac 1{a};~~~boldsymbol{a=1}$

4) Число a или число 2a  должны быть кратны цифре b. Возможные пары, помимо рассмотренных :  (2;4), (3,6), (4,8), (6,3), (8,4), (9,3)

a = 2; b = 4;   $dfrac {10a+b}{ab}=dfrac {20+4}{2cdot4}=4$

a = 3; b = 6;   $dfrac {30+6}{3cdot6}=2$

Остальные варианты не подходят

a = 4; b = 8;   $dfrac {40+8}{4cdot8}=dfrac32$       a = 6; b = 3;   $dfrac {60+3}{6cdot3}=dfrac{7}2$

a = 8; b = 4;   $dfrac {80+4}{8cdot4}=dfrac{21}8$      a = 9; b = 3;   $dfrac {90+3}{9cdot3}=dfrac{31}9$

Ответ : 11, 12, 15, 24, 36