Question

Медианы AL и BM треугольника АВС пересекаются в точке К. Найдите длину отрезка СК, если АВ равно корень из 3 и известно, что вокруг четырехугольника KLCM можно описать окружность

Answer 1

Чертеж к задаче во вложении.

1) L-середина ВС, М-середина АС, значит, ML - средняя линия треуг.АВС. Отсюда LM||AB, LM=0,5AB=(√3)/2

2) ∠BAL=∠ALM, ∠ABM=∠BML (накрест лежащие)

3)  ∠LСK=∠KMN (опираются на одну и ту же дугу KL)

∠KLM=∠KCM  (опираются на одну и ту же дугу KM) 

4) Из всего этого следует подобие треугольников АСК и ALM по двум углам. Из подобия берем отношения сходственных сторон: 

$frac{CK}{LM}=frac{AC}{AL}=frac{AK}{AM}$

Обозначим для удобства ВС=а, АС=b.

По свойству точки пересечения медиан треугольника 

$AK=frac{2}{3}AL$

$frac{CK}{frac{sqrt3}{2}}=frac{b}{AL}=frac{frac{2}{3}AL}{frac{b}{2}}$

Из равенства второго и третьего отношений получим 

$frac{b^2}{2}=frac{2}{3}AL^2 \ b=frac{2sqrt3}{3}AL \ AL=frac{bsqrt3}{2}$

Теперь из первого и второго отношений:

$frac{2CK}{sqrt3}=frac{2b}{bsqrt3} \ CK=1$ 

Ответ: СК=1.