Question

В параллелограмме ABCD угол A равен 60 градусов, провели биссектрису угла D, пересекающую сторону CB в точке K. В треугольник KCD вписали окружность радиуса /7(корень из 7), другую окружность вписали в трапецию ABKD. Найдите расстояние между центрами этиъ окружностей

Answer 1

Треугольник KCD очевидно правильный, поэтому r = √7; - это треть высоты KCD, которая, очевидно является высотой и трапеции ABKD. 

В эту трапецию можно вписать окружность, поэтому, если верхнее основание BK = x, а нижнее AD = a, то боковые стороны AB = KD = (a + x)/2; (суммы противоположных сторон равны).

Если продлить AB и KD до пересечения в точке Е, то AED - правильный треугольник, и окружность, вписанная в трапецию ABKD, является вписанной и в AED. Диаметр этой окружности равен 2/3 высоты AED, а высота EBK, соответственно, равна 1/3 высоты AED. Из очевидного подобия элементов трегуольников EBK и AED x = a/3;

то есть AB = KD = KC = 2*AD/3 = 2*a/3;  

Из такого же подобия элементов треугольников AED и KCD следует, что радиус вписанной в трапецию окружности r1 = 3r/2; (то есть r/r1 = KC/AD)

Если центры окружностей O1(вписаная в AED радиуса r1 = 3r/2)  и O2 (вписанная в KDC радиуса r), то точка O2 проектируется на AD в точку D, а точка O1 - в середину AD, поэтому, если  O1O2 = p, то p^2 = (a/2)^2 + (r1 - r)^2;

При этом a/2 =  (√3)*r1 =  (3√3/2)*r;

Откуда p^2 = ((3√3/2)^2 + (1/2)^2)*r^2 = 7*r^2 = 7^2;

O1O2 = 7;