Question

Докажите, что если a,b и y-углы треугольника,то верно равенство

 

$tgfrac{alpha}{2}*tgfrac{beta}{2}+tgfrac{beta}{2}*tgfrac{gamma}{2}+tgfrac{gamma}{2}*tgfrac{alpha}{2}=1$

Answer 1

Так как сумма углов в треугольнике равна $alpha+beta+gamma=pi$, то вместо $gamma$ запишем $pi-alpha-beta$.

 

Тогда

 

$tanfrac{alpha}{2}tanfrac{beta}{2}+tanfrac{beta}{2}tanfrac{pi-alpha-beta}{2}+tanfrac{pi-alpha-beta}{2}tanfrac{alpha}{2}quad (*)$

 

Вычислим отдельно тангенс.

$tanfrac{pi-alpha-beta}{2}=frac{sinfrac{pi-alpha-beta}{2}}{cosfrac{pi-alpha-beta}{2}}$

 

Вычислим отдельно числитель и знаменатель

 

Числитель равен

 

$sinfrac{pi-alpha-beta}{2}=sinleft(frac{pi}{2}-frac{alpha+beta}{2}right)=sinfrac{pi}{2}cosfrac{alpha+beta}{2}-cosfrac{pi}{2}sinfrac{alpha+beta}{2}=$

 

$=1*cosfrac{alpha+beta}{2}-0*sinfrac{alpha+beta}{2}=cosfrac{alpha+beta}{2}$

 

Знаменатель равен

$cosfrac{pi-alpha-beta}{2}=cosleft(frac{pi}{2}-frac{alpha+beta}{2}right)=cosfrac{pi}{2}cosfrac{alpha+beta}{2}+sinfrac{pi}{2}sinfrac{alpha+beta}{2}=$

 

$=0*cosfrac{alpha+beta}{2}+1*sinfrac{alpha+beta}{2}=sinfrac{alpha+beta}{2}$

 

Значит

 

$tanfrac{pi-alpha-beta}{2}=frac{cosfrac{alpha+beta}{2}}{sinfrac{alpha+beta}{2}}</var>=cot<var>frac{alpha+beta}{2}$

 

Подставим в исходную формулу (*)

 

$tanfrac{alpha}{2}tanfrac{beta}{2}+tanfrac{beta}{2}</var><var>cot<var>frac{alpha+beta}{2}</var>+</var><var>cot<var>frac{alpha+beta}{2}</var>tanfrac{alpha}{2}=$

 

$=tanfrac{alpha}{2}tanfrac{beta}{2}+cotfrac{alpha+beta}{2}*(tanfrac{beta}{2}+tanfrac{alpha}{2})=$

 

$tanfrac{alpha}{2}tanfrac{beta}{2}+cotfrac{alpha+beta}{2}*left(frac{sinfrac{beta}{2}}{cosfrac{beta}{2}}+frac{sinfrac{<var>alpha</var>}{2}}{cosfrac{<var>alpha</var>}{2}}right)=$

 

$=tanfrac{alpha}{2}tanfrac{beta}{2}+cotfrac{alpha+beta}{2}*left(frac{sinfrac{beta}{2}cosfrac{<var>alpha</var>}{2}}{<var>cosfrac{<var>alpha</var>}{2}</var>cosfrac{beta}{2}}+frac{sinfrac{<var>alpha</var>}{2}cosfrac{beta}{2}}{cosfrac{<var>alpha</var>}{2}<var>cosfrac{beta}{2}</var>}right)=$

 

$=tanfrac{alpha}{2}tanfrac{beta}{2}+cotfrac{alpha+beta}{2}*left(frac{sinfrac{beta}{2}cosfrac{alpha}{2}+sinfrac{alpha}{2}cosfrac{beta}{2}}{<var>cosfrac{alpha}{2}</var>cosfrac{beta}{2}}right)=$

 

По формуле синуса суммы

sin(x+y)=sinx*cosy+sinycosx

преобразуем числитель в скобках

$=tanfrac{alpha}{2}tanfrac{beta}{2}+cotfrac{alpha+beta}{2}*frac{sinfrac{alpha+beta}{2}}{cosfrac{alpha}{2}cosfrac{beta}{2}}=$

 

Снова распишем котангенс по определению

 

$=tanfrac{alpha}{2}tanfrac{beta}{2}+frac{cosfrac{alpha+beta}{2}}{sinfrac{alpha+beta}{2}}*frac{sinfrac{alpha+beta}{2}}{cosfrac{alpha}{2}cosfrac{beta}{2}}=$

 

Проведем сокращения

 

$=tanfrac{alpha}{2}tanfrac{beta}{2}+frac{cosfrac{alpha+beta}{2}}{cosfrac{alpha}{2}cosfrac{beta}{2}}=$

 

По формуле

$tan x=frac{sin x}{cos x}$ преобразуем выражение далее

 

$=frac{sinfrac{alpha}{2}sinfrac{beta}{2}}{cosfrac{alpha}{2}cosfrac{beta}{2}}+frac{cosfrac{alpha+beta}{2}}{cosfrac{alpha}{2}cosfrac{beta}{2}}=frac{sinfrac{alpha}{2}sinfrac{beta}{2}+cosfrac{alpha+beta}{2}}{cosfrac{alpha}{2}cosfrac{beta}{2}}$

 

Распишем в числителе косинус суммы по формуле

cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny

 

После несложных преобразований и сокращения, получим нужное

 

$=frac{sinfrac{alpha}{2}sinfrac{beta}{2}+cosfrac{alpha}{2}cosfrac{beta}{2}-sinfrac{alpha}{2}sinfrac{beta}{2}}{cosfrac{alpha}{2}cosfrac{beta}{2}}=frac{cosfrac{alpha}{2}cosfrac{beta}{2}}{cosfrac{alpha}{2}cosfrac{beta}{2}}=1$