Question

Решить подробно и на листочке.
В правильном тетраэдре h-высота, m-ребро, n-расстояние между центрами его граней. Выразите а) m через h б) n через m
Решение из иных источников писать не надо!

Answer 1

Правильный тетраэдр - треугольная пирамида, все грани которой правильные треугольники. 

Обозначим пирамиду МАВС, центры eё граней E,P,T.

Основание О высоты МО пирамиды - центр описанной (и вписанной) окружности равностороннего ∆ АВС. 

а) Выразить m через h.

АО - радиус описанной окружности. 

Формула R=m/√3

MO²=АМ²-АО²

h²=m²-m²/3

2m²=3h

m=h√(3/2)=(h√6)/2

б) Выразить n через m.

Центр правильного треугольника - точка пересечения его медиан. Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. В таком же отношении делятся ребра пирамиды. 

МТ:ТН=2:1, Mc:MC=2:3; ⇒ cb:CB=2:3

Центры граней лежат в  плоскости, параллельной основанию АВС и образующей в сечении треугольник abc~АВС с коэффициентом подобия k=2/3. ab=bc=ac-=2/3m

Расстояния между центрами граней - стороны треугольника, образованного при соединении центров граней, ∆ abc~ ∆ РТЕ  с k=1/2.  

n=ab/2=1/2•(2/3)m

n=m/3.