Question

Помогите решить данное уравнение:

Answer 1

$\log_{3x-7}(x-5)-\log_{x-5}(3x^2-22x+35)=-1$
ОДЗ:
$\left\{\begin{array}{l}3x-7\ \textgreater \ 0 \\ 3x-7\neq 1 \\ x-5\ \textgreater \ 0 \\ x-5 \neq 1 \\ 3x^2-22x+35\ \textgreater \ 0\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} 3x-7\neq 1 \\ x-5 \neq 1 \\ x- \frac{7}{3} \ \textgreater \ 0 \\ x-5\ \textgreater \ 0\\ 3(x- \frac{7}{3})(x-5)\ \textgreater \ 0\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x\ \textgreater \ 5 \\ x \neq 6\end{array}$
Решаем уравнение:
$\log_{3x-7}(x-5)-\log_{x-5}(3x^2-22x+35)=-1 \\\ \dfrac{1}{ \log_{x-5}(3x-7)}-\log_{x-5}(3x-7)(x-5)=-1 \\\ \dfrac{1}{ \log_{x-5}(3x-7)}-(\log_{x-5}(3x-7)+\log_{x-5}(x-5))=-1 \\\ \dfrac{1}{ \log_{x-5}(3x-7)}-\log_{x-5}(3x-7)-\log_{x-5}(x-5)=-1 \\\ \dfrac{1}{ \log_{x-5}(3x-7)}-\log_{x-5}(3x-7)-1=-1 \\\ \dfrac{1}{ \log_{x-5}(3x-7)}-\log_{x-5}(3x-7)=0$
$\dfrac{1-\log^2_{x-5}(3x-7)}{ \log_{x-5}(3x-7)}=0 \\\ 1-\log^2_{x-5}(3x-7)=0 \\\ \log^2_{x-5}(3x-7)=1 \\\ \left[\begin{array}{l}\log_{x-5}(3x-7)=1\\\log_{x-5}(3x-7)=-1\end{array}$
Решаем первое уравнение совокупности:
$\log_{x-5}(3x-7)=1 \\\ (x-5)^1=3x-7 \\\ x-5=3x-7 \\\ 2x=2 \\\ x=1$
Получившийся корень не удовлетворяет ОДЗ.
Решаем второе уравнение совокупности:
$\log_{x-5}(3x-7)=-1 \\\ (x-5)^{-1}=3x-7 \\\ \dfrac{1}{x-5} =3x-7 \\\ (3x-7)(x-5)=1 \\\ 3x^2-15x-7x+35-1=0 \\\ 3x^2-22x+34=0 \\\ D_1=(-11)^2-3\cdot34=121-102=19 \\\ x= \frac{11\pm \sqrt{19} }{3}$
Оценим получившиеся корни:
$4\ \textless \ \sqrt{19}\ \textless \ 5 \\\ 15\ \textless \ 11+\sqrt{19}\ \textless \ 16 \\\ 5\ \textless \ \frac{11+\sqrt{19}}{3} \ \textless \ \frac{16}{3}$
Первый корень удовлетворяет ОДЗ.
$4\ \textless \ \sqrt{19}\ \textless \ 5 \\\ -5\ \textless \ -\sqrt{19}\ \textless \ -4 \\\ 6\ \textless \ 11-\sqrt{19}\ \textless \ 7 \\\ 2\ \textless \ \frac{11-\sqrt{19}}{3} \ \textless \ \frac{7}{3}$
Второй корень не удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $\frac{11+\sqrt{19}}{3}$