Question

1)Докажите, что всякое простое число, большее3, имеет вид 6к+1 или 6к+5, где к=0 или к принадлежит N

2)  Решите уравнение ху=3(х+у)-5 , где х у - простые числа.

 

 

 

Answer 1

Не олимпиадные

1)  Пусть число  число x, при делений на 6 очевидно 6x+y .где у -остаток , чтобы число 6x+y было простым перед ним должна быть какое то четное число то есть  кратна 2n,    так как  при делений числа на 6  на простое число  должно быть в добавок  то есть у -  какое то то нечетное число  так как четное + четное  =   четное ,  и не будет никогда простым , так как при нечетным есть шанс что будет простым числом ,  то есть мы ограничели  могу входит уже такие  цифры как 1,3,5,7,9 . но так как число наше простое то при делений на 2 всегда будет остаток 1 , и при делений на 3  остаток 5 , это возможно при  y=1 и 5 

2)  xy=3 (x+y) -5 

     xy +5 = 3(x+y) 

    просто + простое  дает  четное кроме 2 и 3  

     тогда 3(x+y)   четное

     значит справа  xy+5  четное должно быть  но 5   нечетное  ,   значит  xy нечетное 

    3(x+y)-xy=5

    x=6a+1 

    y=6b+1

    3(6a+6b+2)-(6a+1)(6b+1)=5

    12b-36ab+12a+5=5

    12b-36ab+12a=0

    12(b-3ab+a)=0

     b+a-3ab=0

     b+a=3ab

     a=2/3    

     и при a=2/3 и b=2/3 

     х и у = 5 

     

 или   можно размышлять вот так 

   xy=3 (x+y) -5  

   xy=3x+3y-5

   xy-3y=3x-5

   y(x-3)=3x-5

   y=3x-5 /x-3

   пдобором 

      (1, 2), (2, 1), (4, 7), (5, 5), (7, 4)