Question

Исследовать сходимость ряда:
∑(n=1)$frac{5^n-4n}{n!}$

Answer 1

$displaystyle sum^{infty}_{n=1} frac{5^n-4n}{n!} =sum^{infty}_{n=1} frac{5^n}{n!} -sum^{infty}_{n=1} frac{4n}{n!}$

$displaystyle sum^{infty}_{n=1} frac{5^n}{n!}$
По признаку Даламбера:
$displaystyle lim_{n to infty} frac{a_{n+1}}{a_n} = lim_{n to infty} frac{ dfrac{5^{n+1}}{(n+1)!} }{ dfrac{5^n}{n!} } = lim_{n to infty} frac{5}{n+1} =0 textless 1$

$displaystyle sum^{infty}_{n=1} frac{4n}{n!}$
По признаку Даламбера:
$displaystyle lim_{n to infty} frac{ dfrac{4cdot(n+1)}{(n+1)!} }{ dfrac{4n}{n!} } = lim_{n to infty} frac{1}{n} =0 textless 1$

Итак, данный ряд сходится