Question

Медиана AM и биссектриса CD прямоугольного треугольника ABC угол B=90 пересекаются в точке O. Найдите площади треугольника ABC, если CO=9, OD=5.

Answer 1

Чертеж во вложении.
1. Проведем через вершину С прямую, параллельную катету АВ. Пусть F - точка пересечения этой прямой с продолжением медианы АМ за точку М.
2. ∆АДО и ∆ОСF подобны по двум углам (отмечены дугами). Отсюда равенство:
$dfrac{AO}{OF}=dfrac{DO}{OC}=dfrac{AD}{CF}\\ m.k. CF=AB, mo dfrac{AD}{AB}=dfrac{DO}{OC}=dfrac{5}{9}$
По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника
$dfrac{AC}{AD}=dfrac{BC}{BD} => dfrac{AC}{5}=dfrac{BC}{9-5}=>dfrac{BC}{AC}=dfrac{4}{5}$
Пусть t - коэффициент пропорциональности. АС=5t, BC=4t.
По теореме Пифагора в ∆АВС 
$AB=sqrt{AC^2-BC^2}=sqrt{25t^2-16t^2}=sqrt{9t^2}=3t$
Отсюда следует, что стороны ∆АВС относятся как АВ:ВС:АС=3:4:5.
Обозначим теперь ∠DCB=a (альфа), тогда cos ∠ACB = cos 2a = BC/AC=4/5.
Из тригонометрических формул получим
$cos alpha=sqrt{frac{1+cos 2alpha}{2}}=sqrt{frac{1+frac{4}{5}}{2}}=sqrt{frac{9}{10}}=frac{3}{sqrt{10}}$
Имеет место формула биссектрисы через стороны треугольника:
$DC=dfrac{2BC*AC}{BC+AC}cos frac{angle ACB}{2}= dfrac{2*4t*5t}{4t+5t}*dfrac{3}{sqrt{10}} \ dfrac{120t^2}{9t}*dfrac{3}{sqrt{10}} =14\ t^2=dfrac{21^2}{40}\ S_{ABC}=frac{1}{2}*3t*4t=6t^2=6*frac{21^2}{40}=frac{1323}{20}\\ Ombem: frac{1323}{20}$